【題目】已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為 
，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設點 
，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．
【答案】
（1）解：由題意知橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的標準方程是 
∵橢圓經過點D（2，0），左焦點為 
，
∴a=2， 
，可得b= 
=1
因此，橢圓的標準方程為 
（2）解：設點P的坐標是（x0，y0），線段PA的中點為M（x，y），
由根據中點坐標公式，可得 
，整理得 
，
∵點P（x0，y0）在橢圓上，
∴可得 
，化簡整理得 
，
由此可得線段PA中點M的軌跡方程是 
【解析】（1）設橢圓方程為 ，根據題意可得a=2且c= 
，從而b= =1，得到橢圓的標準方程；（2）設點P（x0 ， y0），線段PA的中點為M（x，y），根據中點坐標公式將x0、y0表示成關于x、y的式子，將P（x0 ， y0）關于x、y的坐標形式代入已知橢圓的方程，化簡整理即可得到線段PA的中點M的軌跡方程．
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【題目】已知函數f（x）=loga（x﹣1），g（x）=loga（3﹣x）（a＞0且a≠1）
（1）求函數h（x）=f（x）﹣g（x）的定義域；
（2）利用對數函數的單調性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．
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【題目】已知F1 ， F2為橢圓C： 
（a＞b＞0）的左、右焦點，M為橢圓C的上頂點，且|MF1|=2，右焦點與右頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且直線OA，OB的斜率kOA ， kOB滿足kOAkOB=﹣ 
，求△AOB的面積．
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【題目】已知定點
，定直線
，動點
到點
的距離與到直線
的距離之比等于
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）設軌跡
與
軸負半軸交于點
，過點
作不與
軸重合的直線交軌跡
于兩點
，直線
分別交直線
于點
.試問：在
軸上是否存在定點
，使得
?若存在，求出定點
的坐標；若不存在，請說明理由.
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【題目】過雙曲線 
=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為坐標原點，若 
= 
（ 
+ 
），則雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=x2﹣2x+2，若對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．
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【題目】已知函數f（x）=alnx+ 
（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y=0．
（1）求a，b的值；
（2）當x＞1時，f（x）﹣kx＜0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）證明：當n∈N* ， 且n≥2時， 
+ 
+ 
+…+ 
＞ 
．
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