Question

【題目】已知的三邊長分別為,,,M是AB邊上的點,P是平面ABC外一點.給出下列四個命題：①若平面ABC,則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若平面ABC,且M是邊AB的中點,則有；③若,平面ABC,則面積的最小值為；④若,P在平面ABC上的射影是內切圓的圓心,則點P到平面ABC的距離為.其中正確命題的序號是________.（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①:利用勾股定理及逆定理和線面垂直的判定定理和性質定理可以判斷本命題的真假；

②：根據直角三角形斜邊的性質和勾股定理可以判斷出本命題的真假；

③：利用面積公式和勾股定理可以判斷出本命題的真假；

④：利用直角三角形內切圓的性質以及勾股定理可以判斷出本命題的真假；

因為,,,所以,即

①：由上可知： 是直角三角形. 平面ABC,而平面ABC,因此

,所以是直角三角形.因為

平面,所以平面,而

平面,所以,因此是直角三角形,故本命題是真命題；

②：因為是以為斜邊的直角三角形, M是邊AB的中點,所以,

又平面ABC, 平面ABC,所以,由勾股定理可知：

,而,

所以,故本命題是真命題；

③：,當最小時,面積有最小值,所以當

時,此時,所以面積最小值為6,故本命題是假命題；

④：由內切圓關徑公式可知：內切圓的半徑,故,設P在平面ABC上的射影是內切圓的圓心為O,因此有,

所以,所以點P到平面ABC的距離為.故本命題是真命題；

故答案為：①②④