Question

（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當時，求證平面
（II）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（I）見解析（II）

試題分析：（Ⅰ）在平行四邊形中，
由，，，
易知，                                                       ……2分
又平面，所以平面,∴，
在直角三角形中，易得，
在直角三角形中，，，又，∴，
可得
.
∴，                                                       ……5分
又∵，∴平面．                              ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，
可知為二面角的平面角，
，此時為的中點.                                     ……8分
過作,連結(jié),則平面平面,
作,則平面,連結(jié),
可得為直線與平面所成的角．
因為,,
所以.                                        ……10分
在中，，
直線與平面所成角的正弦值為.                         ……12分
解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標原點，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標系，則易得，

（Ⅰ）由有，                                ……3分
易得，從而平面．                            ……6分
(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.
又，則 為的中點，
即 ,                                                 ……8分
設平面的法向量為
則，令,得，                 ……10分
從而，
直線與平面所成角的正弦值為.                        ……12分
點評：解決空間立體幾何問題可以用傳統(tǒng)的方法證明也可以用向量方法來證明，用傳統(tǒng)方法證明時，要把證明所用的定理的條件擺清楚，缺一不可，用向量方法時，運算量比較大.