Question

（本小題滿分12分）如圖，四邊形與均為菱形， ，且，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：AE∥平面FCB；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）只需證，；（Ⅱ）只需證平面//平面；（Ⅲ）。

試題分析：（Ⅰ）證明：設與相交于點，連結，
菱形中， ，且為中點，
又 ，所以 ， 又，
所以 平面；
（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，
所以//，//，，
所以 平面//平面,又平面，
∴ AE∥平面FCB；   
（Ⅲ）解：菱形中，，為中點，所以，
故兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，
則，，．
設平面的法向量為，則有即 
取，得；
易知平面的法向量為，
由于二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為。
點評：本題主要考查了空間的線面平行，線面垂直的證明即二面角的求法，充分考查了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力。