Question

【題目】已知拋物線y2=4x的焦點F，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，則4|FA|+|FB|的最小值為 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：拋物線的焦點為F（1，0），（1）若直線與x軸垂直，則直線方程為x=1，

代入拋物線方程得y=±2，

∴|FA|=|FB|=2，

∴4|FA|+|FB|=10．（2）若直線與x軸不垂直，顯然直線有斜率，

設直線方程為y=k（x﹣1），

聯立方程組 ，消元得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1x2=1，即x2= ，

∵A，B在拋物線上，∴|FA|=x1+1，|FB|=x2+1= ，

∴4|FA|+|FB|=4x1+4+ +1=4x1+ +5≥2 +5=9．

當且僅當4x1= 即x1= 時取等號．

綜上，4|FA|+|FB|的最小值為9．

所以答案是：9．