Question

【題目】如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中AC=2AA1 ， AC⊥BC，D、E 分別為A1C1、AB 的中點．求證：

（1）AD⊥平面BCD
（2）A1E∥平面BCD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC平面ABC，

∴CC1⊥BC，

又∵AC⊥BC，AC∩CC1=C，AC，CC1平面AA1C1C，

∴BC⊥平面AA1C1C，

而AD平面AA1C1C∴BC⊥AD①

又該直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，

由已知AA1= AC=A1D，則∠A1DA= ，

同理∠C1DC= ，則∠ADC= ，即CD⊥AD，

由①BC⊥AD，BC∩CD=C，BC，CD平面BCD，

∴AD⊥平面BCD

（2）證明：取BC中點O，連結DO、OE，∵AE=EB，CO=BO∴OE平行等于 AC，

而A1D平行等于 AC，

∴A1D平行等于OE∴四邊形A1DOE為平行四邊形，

∴A1E∥OD，而A1E平面BCD，OD平面BCD，

∴A1E∥平面BCD．

【解析】（1）只需證明BC⊥AD，DC⊥AD，證明 即可AD⊥平面BCD（2）取BC中點O，連結DO、OE可得四邊形A1DOE為平行四邊形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．