Question

【題目】如圖，在邊長為2的正三角形△ABC中，D為BC的中點，E，F分別在邊CA，AB上．
（1）若 ，求CE的長；
（2）若∠EDF=60°，問：當∠CDE取何值時，△DEF的面積最小？并求出面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△CDE中， ，

由余弦定理得，DE2=CD2+CE2﹣2×CD×CE×cos60°，

得CE2﹣CE﹣1=0，解得 ；

（2）解：設∠CDE=α，300≤α≤900，

在△CDE中，由正弦定理，得 ，

所以 ，同理 ，

故 ，

因為300≤α≤900，300≤2α﹣300≤1500，

所以當α=600時，sin（2α﹣300）的最大值為1，此時△DEF的面積取到最小值．

即∠CDE=60°時，△DEF的面積的最小值為 ．

【解析】（1）在△CDE中，由已知及余弦定理可得CE2﹣CE﹣1=0，進而解得CE的值．（2）設∠CDE=α，300≤α≤900，在△CDE中，由正弦定理，可求DE= ， ，利用三角形面積公式可求S△DEF= ，由范圍300≤2α﹣300≤1500，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．