Question

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點．將沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點在平面ABCD內的射影落在內．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）取BD中點Q，證得Q與O重合。則面PBD
（2）

試題分析：（1）取BD中點Q，則三點共線，即Q與O重合。
則面PBD
（2）因為AC面PBD，而面ABCD，所以面ABCD面PBD，則P點在面ABCD上的射影點在交線BD上（即在射線OD上），所以PO與平面ABCD所成的角。以O為坐標原點，OA為軸，OB為軸建空間直角坐標系。，因為AC面PBD，所以面PBD的法向量，設面PAB的法向量，又，由，得①，又，由，得
 ②， 在①②中令，可得，則
所以二面角的余弦值
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，將立體問題轉化成平面問題，是解決立體幾何問題的一個基本思路。通過就落實黨的坐標系，利用空間向量，免去了繁瑣的邏輯推理過程，對計算能力要求較高。