Question

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若點是的中點，求證：平面；
（II）若點為線段的中點，求二面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）證明：設，交于點，連接，易知為的中位線，
故，又平面，平面，得平面．
（Ⅱ）解：過做交于，過作交于,
由已知可知平面，，且,
過作交于,連接,由三垂線定理可知：為所求角
如圖，平面,,由三垂線定理可知，
在中，斜邊，，得,
在中，,得,由等面積原理得，B到CE邊的高為
則;  在中，,則，
故：
法2建立如圖所示的空間直角坐標系，

則,,;,
（I）設平面的法向量為，
則即；推出即, 平面。
（II）,故

試題分析：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則,,;,
（I）設平面的法向量為，
則即；即
令，則；又,故即,而平面所以平面。
（II）設平面的法向量為，,
則即；即
令，則；由題可知平面的法向量為
故,故
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。