Question

正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點.

(1)求證:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.

Answer 1

(1)詳見解析；（2）.

試題分析：(1)先根據題意找到BC中點O，證明，平面，從而以O為原點構造出空間直角坐標系.在寫出平面中相關向量坐標以及的坐標，由向量的數量積為0證明線線垂直，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上問可知平面的法向量即，再通過向量的夾角公式得到這兩個法向量的夾角余弦值，經觀察可知即為二面角余弦值.從而得到本題的解.
試題解析：（1）取BC中點O,連AO,
∵為正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中點為,以O為原點,,,的方向為,軸的正方向,建立空間直角坐標系,

則.
∴,
∵,.
∴,,∴面   
(2)設平面的法向量為,.
,∴,∴,,令,得為平面的一個法向量,由(1)知面,
∴為平面的法向量,,
經檢驗易知二面角的余弦值為.