Question

如圖,是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論.

Answer 1

(1) 參考解析；(2) ； (3)

試題分析：(1)因為要證平面即直線與平面垂直的證明，通過證明這條直線垂直平面內的兩條相交直線即可，依題意易得到.
(2)因為要求二面角的余弦值，一般是通過建立空間坐標系，寫出相應的點的坐標，由于AC所在的向量就是平面EDB的法向量，所以關鍵是通過待定系數法求出平面EFB的法向量.再通過兩法向量的夾角得到兩平面的二面角的大小，二面角是鈍角還是銳角通過圖形來確定.
(3)因為點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面.通過對點M的假設寫出向量AM.從而由該向量垂直平面的法向量，即可得到相應的點M的坐標.
試題解析：(1)證明： 因為平面，   所以.
因為是正方形，所以，又相交
從而平面.  
(2)解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為與平面所成角為， 即，
所以.由可知，.
則，，，，，
所以，，
設平面的法向量為，則，即，
令，則. 因為平面，所以為平面的法向量，，
所以.
因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 
(3)解：點是線段上一個動點，設. 則，
因為平面，所以,
即，解得.
此時，點坐標為，，符合題意.