【題目】已知函數
，其中無理數
.
（Ⅰ）若函數
有兩個極值點，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若函數
的極值點有三個，最小的記為
，最大的記為
，若
的最大值為
，求
的最小值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】分析：（Ⅰ）先對函數
求導，構造
，則函數有兩個極值點等價于
有兩個不等的正實根，對函數求導，然后對
和
進行討論，可得函數的單調性，結合
，即可求得
的取值范圍；（Ⅱ）對函數
求導，由
有三個極值點，則
有三個零點，1為一個零點，其他兩個則為的零點，結合（Ⅰ），可得的兩個零點即為的最小和最大極值點
，
，即
，令
，由題知
，則
，令
，利用導數研究函數
的單調性，從而可求得的最小值即
的最小值.
詳解：（Ⅰ）
，
令，
，
∵有兩個極值點
∴ 有兩個不等的正實根
∵
∴當時，
，在
上單調遞增，不符合題意．
當時，當
時，
，當
時，，
∴在
上單調遞減，在
上單調遞增．
又∵，當
→
時，→
∴
∴
綜上，的取值范圍是．
（Ⅱ）
．
∵有三個極值點
∴有三個零點，1為一個零點，其他兩個則為的零點，由（Ⅰ）知.
∵
∴的兩個零點即為的最小和最大極值點，，即.
∴
令，由題知.
∴
，
，
∴
令，，則
，令
，則
．
∴
在
上單調遞增
∴
∴在上單調遞減
∴
故的最小值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，空間幾何體由兩部分構成，上部是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點
是圓錐的頂點，
是圓柱下底面的一條直徑，
、
是圓柱的兩條母線，
是弧的中點.
（1）求異面直線
與
所成的角的大小；
（2）求點
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數
的圖像向左平移
個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的
倍（縱坐標不變），得到
的圖像.
（1）求的單調遞增區間；
（2）若對于任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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