Question

【題目】已知函數

(1)討論函數的單調性；

(2)當時，求函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上遞增，在上遞減． （2）當時，函數沒有零點；當時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點．

【解析】

(1)由題意，求得函數的導數，分類討論，利用導數，即可求解函數的單調區間；

(2) 由(1)可知，利用函數的單調性，求得函數的最大值，分類討論，即可得到函數的零點個數．

的定義域為．

(1) ，

①當時，，故在上單調遞增；

②當時，令，則，

在上，，單調遞增，

在上，，單調遞減．

綜上所述：當時， 在上單調遞增；當時，在上遞增，在上遞減．

(2) 由(1)可知，當時，在上遞增，在上遞減．

故，

①當，即時，，此時函數沒有零點．

②當，即時，，此時函數有一個零點．

③當，即時，，

令且，則，，

故，故在有一個零點；

再者，，

令，則；再令，

則，故在上單調遞減，

故，．

故，故在上有一個零點．

故在上有兩個零點．

綜上所述：當時，函數沒有零點；當時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點．