Question

【題目】某中學旅游局欲將一塊長20百米，寬10百米的矩形空地ABCD建成三星級鄉村旅游園區，園區內有一景觀湖EFG（如圖中陰影部分）以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，O為園區正門，園區北門P在y正半軸上，且PO=10百米。景觀湖的邊界線符合函數的模型。

（1）若建設一條與AB平行的水平通道，將園區分成面積相等的兩部分，其中湖上的部分建成玻璃棧道，求玻璃棧道的長度。

（2）若在景觀湖邊界線上一點M修建游船碼頭，使得碼頭M到正門O的距離最短，求此時M點的橫坐標。

（3）設圖中點B為倉庫所在地，現欲在線段OB上確定一點Q建貨物轉運站，將貨物從點B經Q點直線轉運至點P(線路PQ不穿過景觀湖)，使貨物轉運距離QB+PQ最短，試確定點P的位置。

Answer 1

【答案】（1）玻璃棧道的長度為3百米．

（2）.

(3) 當點在線段上且與點O的距離為百米時，最短．

【解析】

分析：（1）根據題意，建立相應的等量關系式，求得結果；

（2）利用兩點間的距離公式，列出對應的式子，之后應用基本不等式求得最值；

（3）將兩條線段的長度和化為關于坐標的關系式，結合性質，求得最值.

詳解：（1）令，即，解得：或4，

則玻璃棧道的長度，

∴玻璃棧道的長度為3百米．

（2）設，其中，

則，當且僅當時，即時取等號．

∴取最小值時M點的橫坐標為．

（3）設，

∵在軸正半軸上，且PO=10 ∴ 又∵

∴在上單調減

∴點越靠近點，越短．

∵路線PQ不穿過景觀湖 ∴當直線與邊界曲線相切時，最短．

設切點為，由得

∴切線的方程為

∵切線過點，∴，解得：

∴切線方程為：．

令，得，即點在線段上且與點O的距離為百米．

答：當點在線段上且與點O的距離為百米時，最短．