Question

【題目】已知曲線C： =1（y≥0），直線l：y=kx+1與曲線C交于A，D兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C．記△OAD的面積S1 ， 四邊形ABCD的面積為S2 ． （Ⅰ）當點B坐標為（﹣1，0）時，求k的值；
（Ⅱ）若S1= ，求線段AD的長；
（Ⅲ）求 的范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，y=kx+1與曲線C交于A，D兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C．點B坐標為（﹣1，0）， 則點A的橫坐標為﹣1，代入曲線C： =1（y≥0），解得點A的縱坐標為x= ，
即A（﹣1， ）
∵點A在直線y=kx+1，則有： =k×（﹣1）+1，
∴解得k=﹣ ，
k的值﹣ ；
（Ⅱ）由題意，k不存在時，四邊形ABCD也不存在，則k必須存在．
設點A（xA ， yA），點D（xD ， yD），則點B（xA ， 0），點C（xD ， 0）

直線l：y=kx+1與曲線C交于A，D兩點，
A，D兩點代入曲線C，即 ，消去y，整理得：（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，
由直線l經過橢圓左右頂點時，k=± ，
則﹣ ≤k≤ ，
解得：xA+xD=﹣ ，xAxD= ，|AD|= = ，
△OAD的面積為S1 ， 設原點（0，0）到直線l：y=kx+1距離為h，
則h= ，
S1= = |AD|h= = ，整理得：40k4+11k2﹣2=0，則k2= ，
解得k=± ，|AD|= ，
∴線段AD的長 ；
（Ⅲ）由題意及（i）：可知：S2= （y1+y2）丨x1﹣x2丨，
則 = = ，
由y1+y2=kx1+1+kx2+1=k（x1+x2）+2，
∴ = = = ，
由﹣ ≤k≤ ，
∴ ≤ ≤ ，
∴ 的取值范圍[ ， ]．
【解析】（Ⅰ）由題意B（﹣1，0），將x=﹣1代入橢圓方程，即可求得A點坐標，代入直線方程，即可求得k的值；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由題意求得k的取值范圍，利用韋達定理及弦長公式求得丨AD丨，根據三角形的面積公式，即可求得k的值，求得丨AD丨，（Ⅲ）求得，四邊形ABCD的面積為S2 ， 求得 的表達式，由k的取值范圍，即可求得 的取值范圍．