Question

【題目】體積為 的正三棱錐A﹣BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內部，且R：BC=2：3，點E為線段BD上一點，且DE=2EB，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）
A.[4π，12π]
B.[8π，16π]
C.[8π，12π]
D.[12π，16π]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設BC=3a，則R=2a，

∵體積為 的正三棱錐A﹣BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，

∴ = ，∴h= ，

∵R2=（h﹣R）2+（ a）2，∴4a2=（ ﹣2a）2+3a2，∴a=2，

∴BC=6，R=4，

∵點E為線段BD上一點，且DE=2EB，

∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB= ，

∴OE= =2 ，

截面垂直于OE時，截面圓的半徑為 =2 ，截面圓面積為8π，

以OE所在直線為直徑時，截面圓的半徑為4，截面圓面積為16π，

∴所得截面圓面積的取值范圍是[8π，16π]．

故選：B．

【考點精析】本題主要考查了球內接多面體的相關知識點，需要掌握球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長才能正確解答此題．