Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知x，y∈R．
（1）若x，y滿足 ， ，求證： ；
（2）求證：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：利用絕對值不等式的性質得：

|x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；

（2）證明：因為x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）

=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）

=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，

∴x4+16y4≥2x3y+8xy3

【解析】（1）|x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；（2）x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0即可．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．