Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E：的焦點(diǎn)重合，斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點(diǎn)，交橢圓于C、D兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且的面積為，求k的值；

（3）若直線l過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，，成等差數(shù)列，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）由題知得到，解方程組即可.

（2）設(shè)直線：，由得：.利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到，解方程即可.

（3）設(shè)直線：，帶入橢圓方程得到.根據(jù)韋達(dá)定理和等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，解方程即可求出直線方程.

（1）設(shè)橢圓的方程為，

由題設(shè)得，∴.

∴橢圓的方程是.

（2）設(shè)直線：，設(shè)，，

由得：.

，.

與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，，

則.

到的距離，

又，所以.

，故.

（3）設(shè)直線：，設(shè)，，

由消去得：.

因?yàn)?/span>在橢圓內(nèi)部，所以與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn),

所以.

由，，成等差數(shù)列得.

.

所以解得：.

所以直線的方程為.