Question

【題目】已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點．判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)對稱.

【解析】

試題（Ⅰ）由已知條件推導出c=1，，由此能求出橢圓的方程．

（Ⅱ）由已知條件得A(－2,0)，M(1，)，設直線l: ，n≠1．設B（x1，y1），C（x2，y2），由，得x2+nx+n2﹣3=0．再由根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出直線MB，MC關于直線m對稱．

試題解析：

(Ⅰ)由題意得c＝1,

由＝可得a＝2，

所以b2＝a2－c2＝3,

所以橢圓的方程為＋＝1.

(Ⅱ)由題意可得點A(－2,0)，M(1，)，

所以由題意可設直線l：y＝x＋n，n≠1.

設B(x1，y1)，C(x2，y2)，

由得x2＋nx＋n2－3＝0.

由題意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2>0，即n∈(－2,2)且n≠1.

x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3

因為kMB＋kMC＝＋

＝＋

＝1＋＋

＝1＋

＝1－＝0，

所以直線MB，MC關于直線m對稱.