Question

【題目】若動點到定點與定直線的距離之和為4.

（1）求點的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；

（2）記（1）得到的軌跡為曲線，問曲線上關于點（）對稱的不同點有幾對？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；作圖見解析；（2）答案不唯一，具體見解析.

【解析】

（1）設，由題意，分類討論，可得點的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；

（2）當或顯然不存在符合題意的對稱點，當時，注意到曲線關于軸對稱，至少存在一對（關于軸對稱的）對稱點，再研究曲線上關于對稱但不關于軸對稱的對稱點即可.

解：（1）設，由題意

①：當時，有，

化簡得：

②：當時，有，

化簡得：（二次函數）

綜上所述：點的軌跡方程為（如圖）：

（2）當或顯然不存在符合題意的對稱點，

當時，注意到曲線關于軸對稱，至少存在一對（關于軸對稱的）對稱點.

下面研究曲線上關于對稱但不關于軸對稱的對稱點

設是軌跡上任意一點，

則，

它關于的對稱點為，

由于點在軌跡上，

所以，

聯立方程組（*）得

，

化簡得

①當時，，此時方程組（*）有兩解，

即增加有兩組對稱點.

②當時，，此時方程組（*）只有一組解，

即增加一組對稱點.（注：對稱點為，）

③

當時，，此時方程組（*）有兩解為，，

沒有增加新的對稱點.

綜上所述：記對稱點的對數為.