Question

【題目】已知等差數(shù)列滿足，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列滿足關(guān)系式，求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由等差數(shù)列由通項(xiàng)公式，得到首項(xiàng)與公差的方程組，得出首項(xiàng)與公差的值，得到通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列的遞推公式，由疊加法，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）將數(shù)列求和得到前n項(xiàng)和后，將條件變形后，得到關(guān)于參數(shù)p的關(guān)系式，這是一個(gè)恒成立問(wèn)題，通過(guò)最值的研究，得到本題結(jié)論.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

由已知，有，

解得

所以，

即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，當(dāng)時(shí)，.

證法一（數(shù)學(xué)歸納法）：

①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，

那么當(dāng)時(shí)，，

即時(shí)，結(jié)論也成立.

由①，②得，當(dāng)時(shí)，成立.

證法二：當(dāng)時(shí)，，

所以

將這個(gè)式子相加，得，

即.

當(dāng)時(shí)，也滿足上式.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（3）由（2），所以，

原不等式變?yōu)?/span>，即，

對(duì)任意恒成立，

為任意的正整數(shù)，

.

的取值范圍是.