Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）當時，解不等式；

（2）已知是以2為周期的偶函數，且當時，有.若，且，求函數的反函數；

（3）若在上存在個不同的點，，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用絕對值不等式的解法及應用求出結果．

（2）利用函數的周期和函數的關系式的應用求出函數的反函數．

（3）利用絕對值不等式的應用和函數的性質的應用，利用分類討論思想的應用求出結果．

解：（1）解不等式

當時，，所以

當時，，所以，

綜上，該不等式的解集為

（2）當時，，

因為是以2為周期的偶函數，

所以，

由，且，得，

所以當時，

所以當時，

，

所以函數的反函數為

（3）①當時，在上，是上的增函數，所以

所以，得；

②當時，在上，是上的增函數，所以

所以，得；

③當時，在上不單調，所以

，，

在上，.

，不滿足.

綜上，的取值范圍為.

③當時，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，于是

令，解得或，不符合題意；

④當時，分別在、上單調遞增，在上單調遞減，

令，解得或，不符合題意.

綜上，所求實數的取值范圍為.