Question

【題目】已知橢圓，長軸長為4，，分別為橢圓的左，右焦點，點是橢圓上的任意一點，面積的最大為，且取得最大值時為鈍角.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知圓，點為圓上任意一點，過點的切線分別交橢圓于兩點，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)由條件，當點在短軸的端點或時，的面積最大得，又當的面積取得最大值時為鈍角得 ，可解出橢圓方程.

(2)分切線的斜率存在和不存在兩種情況計算，由，即 方程聯立代入結合直線與圓相切計算可得答案.

(1)設，短軸的端點分別為.

由橢圓的長軸為4，則.

當點在短軸的端點或時，的面積最大，則 ……

當的面積取得最大值時為鈍角.

即，所以，即……………

又 ………

由解得：

所以橢圓方程為：.

(2)設圓上過點的切線為直線 .

當直線的斜率不存在時， ，則

由，即，解得：.

當直線的斜率存在時，設

由直線與圓相切得：即：.

設

由 得：

則

由，即

所以，即

所以

即，則.

由得.

所以.

綜上所述的值為.