Question

【題目】已知函數，，其中.

（1）求過點和函數的圖像相切的直線方程；

（2）若對任意，有恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在唯一的整數，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）.（3）.

【解析】試題分析：（1）先設切點為，切線斜率為，再建立切線方程為，將代入方程可得，即，進而求得切線方程為：或.

（2）將問題轉化為對任意有恒成立，①當時，，利用導數工具求得，故此時；

②當時，恒成立，故此時；③當時，，

利用導數工具求得，故此時.綜上：.

（3）因為，由（2）知，

當，原命題等價于存在唯一的整數成立，利用導數工具求得；當，原命題等價于存在唯一的整數成立，利用導數工具求得.綜上：.

試題解析：

（1）設切點為，，則切線斜率為，

所以切線方程為，因為切線過，

所以，

化簡得，解得.

當時，切線方程為，

當時，切線方程為.

（2）由題意，對任意有恒成立，

①當時，，

令，則，令得，

，故此時.

②當時，恒成立，故此時.

③當時，，

令，

，故此時.綜上：.

（3）因為，即，

由（2）知，

令，則

當，存在唯一的整數使得，

等價于存在唯一的整數成立，

因為最大，，，所以當時，至少有兩個整數成立，

所以.

當，存在唯一的整數使得，

等價于存在唯一的整數成立，

因為最小，且，，所以當時，至少有兩個整數成立，

所以當時，沒有整數成立，所有.

綜上：.