Question

【題目】數(shù)列，滿足下列條件：①，；②當(dāng)時，滿足：時，，；時，，.

（1）若，，求和的值，并猜想數(shù)列可能的通項公式（不需證明）；

（2）若，，是滿足的最大整數(shù)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）11.

【解析】

（1）利用題中的條件，分別令，求出和的值，并計算，，，，根據(jù)這四項，猜想數(shù)列可能的通項公式；

（2）用反證法說明時，，由此推出，從而得到通項公式，寫出時通項公式，再由是滿足的最大整數(shù)，得到，解之可得整數(shù).

（1），，故，

∴，，，

，，，

，，

∴，，，，

故，，，

猜想：.

（2），，

，

當(dāng)時，假設(shè)存在使得，

則有，與“是滿足的最大整數(shù)”矛盾，

假設(shè)不成立，

時，恒有，，，

，，

是以為首項，為公比的等比數(shù)列，

，，

∵，，

時，，

，，

時，，

時，是單調(diào)遞減數(shù)列，

是滿足的最大整數(shù)，

時，恒成立；時，，，

，

即 ，

解得，

為正整數(shù)，，

.