Question

【題目】已知二次函數

（1）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；

（2）是否存在常數，當時，的值域為區間，且區間的長度為（視區間的長度為），如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，，

【解析】

（1）由二次函數的單調性易得，解關于的不等式可得.

（2）分、或三種情況進行討論，對于每一種情況，由區間長度是求出的值，驗證范圍后即可得到答案.

（1）函數的對稱軸是在區間上是減函數.

函數在區間上存在零點，則必有，

即

（2）在區間上是減函數，在區間上是增函數，

且對稱軸是.

①當，即時，在區間上，最大，最小

，即，

解得

②當時，在區間上，最大，最小，

，解得；

③當時，在區間上，最大，最小， .

，即，解得，

綜上可知，存在常數，滿足條件.