Question

【題目】如圖所示，某鎮有一塊空地，其中，，.當地鎮政府規劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場.為安全起見，需在的周圍安裝防護網.

（1）當時，求防護網的總長度；

（2）為節省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當時，最小值為.

【解析】

（1）證明為正三角形，可得的周長為9，即防護網的總長度為9km；

（2）設，在和中使用正弦定理求出，，得出的面積關于的函數，利用三角函數恒等變換化簡，得出面積的最小值.

（1）在中，，，，，

在中，，，，由余弦定理，得，

，即，，

為正三角形，所以的周長為9，即防護網的總長度為.

（2）設 ，

,,

又在中，由，得，

在中，由，得，

，

當且僅當，即時，的面積取最小值為.