Question

（本小題滿分12分）
　　　已知函數。
　　（Ⅰ）設{a_n}是正數組成的數列，前n項和為S_n，其中a₁=3，若點 (n∈N*)在函數y=f′(x)的圖象上，求證：點（n, S_n）也在y=f′(x)的圖象上；
　　（Ⅱ）求函數f(x)在區間（a-1,a）內的極值。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）當,此時無極小值；
當的極小值為,此時無極大值；
當既無極大值又無極小值。

(Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x²+2x,
由點在函數y=f′(x)的圖象上,
又所以
所以,又因為′(n)=n²+2n,所以,
故點也在函數y=f′(x)的圖象上.
(Ⅱ)解:,
由得.
當x變化時,﹑的變化情況如下表:

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

 
注意到,從而
①當,此時無極小值；
②當的極小值為,此時無極大值；
③當既無極大值又無極小值。