Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*).

(1)證明：{an}是等比數列；

(2)在an和an＋1之間插入n個數，使這n＋2個數成等差數列.記插入的n個數的和為Tn，求Tn的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

（1）由已知得，則當時， ，兩式相減，即可證明數列為首項為，公比為的等比數列；

（2）由（1）得，求得，求得，即得，即可求得的最大值.

試題解析：

(1)證明　因為3an＋Sn＝4，所以Sn＝4－3an(n∈N*)，

所以，當n≥2時，有Sn－1＝4－3an－1，

上述兩式相減，得an＝－3an＋3an－1，

即當n≥2時，＝.

又n＝1時，a1＝4－3a1，a1＝1.

所以{an}是首項為1，公比為的等比數列.

(2)解　由(1)得an＝a1·qn－1＝，

所以Tn＝＝＝，

因為Tn＋1－Tn＝－

＝，

所以T1<T2<T3，T3＝T4，T4>T5>T6>…，

所以Tn的最大值為T3＝T4＝.