Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，焦距為2c，且c， ，2成等比數列．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)點B坐標為(0， )，問是否存在過點B的直線l交橢圓C于M，N兩點，且滿足 (O為坐標原點)？若存在，求出此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)y＝x＋或y＝－x＋.

【解析】試題分析：(Ⅰ)根據題意可以知道: ()2＝2·c ,橢圓的離心率可得a＝,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;

(Ⅱ)設直線MN的方程,代入橢圓方程,由韋達定理及向量數量積的坐標運算,即可求得k的值,直線l的方程.

試題解析：(Ⅰ)( )2＝2·c，解得c＝1.

又e′＝＝，及a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝1.

所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.

(Ⅱ)若直線l過點B(0， )．

當直線l的斜率不存在時，顯然不符合題意；

故直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y－＝kx，即y＝kx＋.

聯立方程組消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＋2＝0.

顯然Δ＝(4k)2－4(1＋2k2)×2>0，

解得k>或k<－.(*)

設點M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝.

由，得＝0，則x1x2＋y1y2＝0.

即＋(kx1＋)(kx2＋)＝0，得＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝0，

得＋k2·＋k＋2＝0，

化簡得＝0，解得k＝±.符合(*)式，

此時直線l的方程為y＝x＋或y＝－x＋.

故存在過點B的直線l交橢圓C于M，N兩點，且滿足，

此時直線l的方程為y＝x＋或y＝－x＋.