Question

【題目】設f(x)＝ex(ln x－a)(e是自然對數的底數，

e＝2.71 828…).

(1)若y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝2ex＋b，求a，b的值.

(2)若函數f(x)在區間上單調遞減，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)a＝－1，b＝－e.(2)[e－1，＋∞).

【解析】試題分析：

（1）求出原函數的導函數，得到，結合在處的切線方程列式求得的值；

（2）由是的一個單調遞減區間，可知，利用上恒成立，即在上恒成立，構造函數，利用導數求得函數在上的最小值即可得到答案.

試題解析：

(1)因為f′(x)＝ex(ln x－a)＋ex·＝ex，

所以由題意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e，

解得a＝－1.

所以f(1)＝e(ln 1－a)＝e，

由切點(1，e)在切線y＝2ex＋b上，得e＝2e＋b，b＝－e，故a＝－1，b＝－e.

(2)由題意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立.

因為ex>0，所以只需ln x＋－a≤0，即a≥ln x＋在上恒成立.

令g(x)＝ln x＋.

因為g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.

當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下：

x		1	(1，e)
g′(x)	－	0	＋
g(x)		極小值

g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，

因為e－1>1＋，

所以g(x)max＝g＝e－1，所以a≥e－1.

故實數a的取值范圍是[e－1，＋∞).