Question

【題目】已知雙曲線方程為，問：是否存在過點M(1，1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P，Q兩點，且M是線段PQ的中點？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】不存在，見解析

【解析】

先考慮斜率不存在時，顯然不成立，再考慮斜率存在時設l：y－1＝k(x－1)，聯立雙曲線方程，當判別式Δ＞0時，由根與系數的關系得x1＋x2＝,解出k,再檢驗即可.

顯然x＝1不滿足條件，設l：y－1＝k(x－1)．

聯立y－1＝k(x－1)和，

消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由Δ＞0，得k＜，x1＋x2＝，

由M(1，1)為PQ的中點，得＝1，解得k＝2，這與k＜矛盾，