Question

【題目】設、分別是橢圓的左、右焦點.

（1）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；

（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值-2，最大值1；（2）或.

【解析】

（1）由橢圓方程求出焦點坐標，是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點設為，利用，結(jié)合在橢圓上，可求的最大值和最小值；（2）設直線，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，利用韋達定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得，結(jié)合判別式大于零可求直線的斜率取值范圍.

由橢圓知，，，

所以，.設，則，

因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值-2.

當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值1.

（2）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，，，

聯(lián)立消去，整理得.

，.由，

得或.①

又，.

又，

，即..②

故由①②得或.