Question

【題目】如圖，CA，CB分別與圓O切于A，B兩點，AE是直徑，OF平分∠BOE交CB的延長線于F，BD∥AC．

（1）證明：OB2=BCBF；
（2）證明：∠DBF=∠AOB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，由CA，CB為切線，可得CA=CB，

OA=OB，OC=OC，

即有△OAC≌△OBC，

即有∠AOC=∠BOC，

又OF平分∠BOE交CB的延長線于F，

可得∠EOF=∠BOF，

則∠FOC=∠FOB+∠BOC=∠EOF+∠AOC=90°，

在直角三角形COF中，OB為斜邊CF上的高，

由射影定理，可得OB2=BCBF

（2）證明：由∠CAO=∠CBO=90°，可得

四點C，A，O，B共圓，延長AC至M，

即有∠MCB=∠AOB，

由BD∥AC，可得∠DBF=∠MCB，

即有∠DBF=∠AOB

【解析】（1）連接OC，運用切線的性質，可得△OAC≌△OBC，結合內角平分線的定義，可得∠FOC=90°，由直角三角形的射影定理，即可得證；（2）由對角互補，可得四點C，A，O，B共圓，延長AC至M，運用兩直線平行的性質，即可得證．