Question

【題目】某省年開始將全面實施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個等級，各等級人數所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進行轉換賦分．該省組織了一次高一年級統一考試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分．

（1）某校生物學科獲得等級的共有10名學生，其原始分及轉換分如下表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
轉換分	100	99	97	95	94	91	88	86
人數	1	1	2	1	2	1	1	1

現從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中生物轉換分不低于分的人數為，求的分布列和數學期望；

（2）假設該省此次高一學生生物學科原始分服從正態分布．若，令，則，請解決下列問題：

①若以此次高一學生生物學科原始分等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為多少分？（結果保留為整數）

②現隨機抽取了該省名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求取得最大值時的值．

附：若，則，．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，數學期望為；（2）①69分；②．

【解析】

（1）寫出隨機變量的所有可能的取值，根據超幾何分布求出的每個值對應的概率，列出分布列，求出數學期望；

（2）①設該劃線分為，由求出.由，得.由題意，又，故，故，即可求出；②由題意，根據獨立重復實驗的概率計算公式，求出，代入不等式組，即求的值.

（1）隨機變量的所有可能的取值為.

由題意可得：，，

，，

隨機變量的分布列為

數學期望．

（2）①設該劃線分為，由得，

令，則，

由題意，，即，

，，，

，，取．

②由①討論及參考數據得

，

即每個學生生物統考成績不低于分的事件概率約為，

，．

由

即

解得，

，，

當時，取得最大值．