Question

【題目】設函數.

(1)討論函數的單調性；

(2)當時，記，是否存在整數，使得關于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數的單調減區間是；單調增區間是；當時，函數的單調增區間是；無單調減區間；當時，函數的單調減區間是；單調增區間是.(2) 存在整數滿足題意，且的最小值為0.

【解析】試題分析：

本題考查用導數討論函數的單調性和用導數解決函數中的能成立問題.（1）求導后根據導函數的符號判斷函數的單調性.（2）由題意只需求出函數的最小值即可，根據函數的單調性求解即可.

試題解析：

⑴由題意得函數的定義域為.

∵，

∴，

①當時，

則當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.

②當時， 恒成立， 上單調遞增.

③當時，

則當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.

綜上，當時， 上單調遞減，在上單調遞增；

當時，函數上單調遞增；

當時， ，在上單調遞增.

(2)當時， ，

∴，

∴函數單調遞增，

又， ，

所以存在唯一的，使得，

且當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增，

所以，

設，

則在上單調遞減，

所以，即.

若關于的不等式有解，則，

又為整數，所以.

所以存在整數滿足題意，且的最小值為0.