Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（I）若a=1，求f（x）在區間[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ax²-a²x，求函數g（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=x²-3x+2=0，從而得出f（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，進而求出f（x）∈[0，

3

2

]；
（Ⅱ）由g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+ax，得g′（x）=x²-x+a，由△=1-4a≤0，得a≥

1

4

，得g（x）在R上單調遞增，函數無極值；當a＜

1

4

時，g（x）在（-∞，

1- 1-4a

2

）上遞增，（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）上遞減，（

1+ 1-4a

2

，+∞）上遞增，極大值點為

1- 1-4a

2

，極小值點為

1+ 1-4a

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²-3x+2=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，
又f（0）=0，f（1）=

5

6

，f（2）=

2

3

，f（3）=

3

2

，
∴f（x）∈[0，

3

2

]；
（Ⅱ）∵g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+ax，
∴g′（x）=x²-x+a，
由△=1-4a≤0，得a≥

1

4

，g′（x）≥0恒成立，g（x）在R上單調遞增，函數無極值；
當a＜

1

4

時，g（x）在（-∞，

1- 1-4a

2

）上遞增，（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）上遞減，（

1+ 1-4a

2

，+∞）上遞增，
極大值點為

1- 1-4a

2

，極小值點為

1+ 1-4a

2

．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，考察導數的應用，是一道綜合題．