Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面三角形PAD是等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，M是棱PC上一點，且AD=2BC=4，CD=2

3

．
（1）試確定點M的位置，使得PE∥平面BDM，并證明；
（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-MBD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的性質

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）點M是PC的中點，利用三角形的中位線，證明MO∥PE，即可證明PE∥平面BDM；
（2）利用V_P-MBD=V_P-DBC-V_M-DBC，即可求三棱錐P-MBD的體積．

解答： 解：（1）點M是PC的中點，
連接BE，因為BC∥AD，DE=BC，
所以四邊形BCDE為平行四邊形
連接EC交BD于O，連接MO，則MO∥PE，
又MO?面BDM，PE?平面BDM，所以PE∥平面BDM．--------------（5分）
（2）由題意V_P-MBD=V_P-DBC-V_M-DBC，
由于平面PAD⊥底面ABCD，三角形PAD是等邊三角形，
所以PE⊥AD，所以PE⊥底面ABCD，則PE是三棱錐P-DBC的高，
由題意PA=AD=PD=4，
所以PE=2

3

，
由（1）知MO是三棱錐M-DBC的高，MO=

3

，S_△DBC=2

3

，
所以V_P-DBC=4，V_M-DBC=2，則V_P-MBD=2．---------------------（9分）

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．