Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，離心率為

2

3

，橢圓C與y軸正半軸交于點P，△PF₁F₂的面積為2

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過右焦點F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，O為坐標原點，求△AOB的面積的最大值，并求出此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知

e= c a = 2 3 bc=2 5

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為x-2=my，代入橢圓C的方程并整理得（5m²+9）y²+20my-25=0，由此能求出△AOB的面積的最大值為

10

3

，此時直線l的方程為x=2．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距為c，則由題意知

e= c a = 2 3 bc=2 5

，
又a²=b²+c²，
解得a=3，b=

5

，c=2，
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（5分）
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率不能為0，右焦點F₂的坐標為（2，0），
設直線l的方程為x-2=my，
代入橢圓C的方程并整理得（5m²+9）y²+20my-25=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=-

20m

5m2+9

，y1+y2=-

25

5m2+9

，…（7分）
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

30 m2+1

5m2+9

，…（8分）
S_△AOB=

1

2

|OF||y1-y2|
=|y₁-y₂|=

30 m2+1

5m2+9

=

30

5 m2+1 + 4 m2+1

，…（10分）
令t=

m2+1

，則t≥1，令f（t）=5t+

4

t

，
則f′(t)=5-

4

t2

=

5t2-4

t2

，∴當t≥1時，f′（t）＞0，
∴f（t）在[1，+∞）上為增函數，
f（t）≥f（1）=9，即5

m2+1

+

4

m2+1

≥9，
當且僅當t=1，即m=0時取”=”
∴0＜S_△AOB≤

10

3

．…（12分）
∴△AOB的面積的最大值為

10

3

，此時直線l的方程為x=2．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．