Question

已知函數f（x）=a（x²-1）-xlnx
（Ⅰ）若F（x）=f′（x），當a=

1

2

時，求F（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（I）當a=

1

2

時，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，由F（x）=f'（x）=x-lnx-1．得F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，令F'（x）=0，得x=1，從而F（x）的單調增區間為（1，+∞），單調減區間為（0，1）．
（II）f'（x）=2ax-lnx-1，由（I）知F（x）_min=F（1）=0，分別討論①若a＞

1

2

，②若0＜a＜

1

2

，③若a≤0時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（I）當a=

1

2

時，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，
∵F（x）=f'（x）=x-lnx-1．
∴F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，令F'（x）=0，得x=1，
當x∈（0，1）時，F'（x）＜0，函數F（x）是減函數；
當x∈（1，+∞）時，F'（x）＞0，函數F（x）是增函數．
∴F（x）的單調增區間為（1，+∞），單調減區間為（0，1）．
（II）f'（x）=2ax-lnx-1，
由（I）知F（x）_min=F（1）=0，
①若a＞

1

2

，f'（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函數；
若a=

1

2

，f'（x）=x-lnx-1≥0，f（x）是增函數．
∴a≥

1

2

，f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．
②若0＜a＜

1

2

，設h(x)=2ax-lnx-1，h′(x)=2a-

1

x

，
當x∈(1，

1

2a

)時，h'（x）＜0，函數h（x）是減函數，
則f'（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在(1，

1

2a

)上是減函數，
這時f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
③若a≤0，則當x∈（1，+∞）時，f（x）在（1，+∞）上是減函數，
此時f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
綜上，a的取值范圍是[

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了函數的單調性，求參數的范圍問題，考查導數的應用，是一道綜合題．