Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足

a

+

b

+

c

=0．
（Ⅰ）若

a

=（3，1），

b

=（1，y），

a

∥

c

，求實數y的值；
（Ⅱ）若|

b

|=2|

a

|≠0，

a

⊥

c

，求向量

a

，

b

的夾角θ．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（I）利用向量共線定理、向量相等即可得出；
（II）利用向量垂直與數量積的關系、數量積的定義與性質即可得出．

解答： 解：（I）設

c

=（m，n），
∵

a

∥

c

，∴m-3n=0．
∵

a

+

b

+

c

=（4+m，1+y+n）=（0，0）．
∴

m=3n 4+m=0 1+y+n=0

，解得y=

1

3

．
（II）∵

a

⊥

c

，
∴

a

•

c

=

a

•(-

a

-

b

)=-

a

2-

a

•

b

=0，
∵|

b

|=2|

a

|≠0，∴|

a

|2+|

a

|×2|

a

|cosθ=0，解得cosθ=-

1

2

．
∵θ∈[0，π]，∴θ=

2π

3

．

點評：本題考查了向量共線定理、向量相等、向量垂直與數量積的關系、數量積的定義與性質，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題．