Question

某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、汽油等費用為0.9萬元；汽車的維修費用各年為：第一年0.2萬元，以后每年以0.2萬元的增量逐年遞增．
（1）寫出該種汽車使用n年后總費用S_n的表達式
（2）問這種汽車使用多少年報廢最合算（平均費用最少）？

Answer 1

考點：數列的應用

專題：應用題,等差數列與等比數列

分析：（1）確定汽車每年維修費構成以0.2萬元為首項，0.2萬元為公差的等差數列，可得該種汽車使用n年后總費用S_n的表達式；
（2）求汽車的年平均費用，再利用基本不等式，即可求得結論．

解答： 解：（1）由題意汽車每年的維修費用形成以0.2為首項0.2為公差的等差數列--（2分）
∴使用n年后總費用Sn=0.2n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n2+0.1n
即該種汽車使用n年后總費用S_n的表達式為Sn=0.1n2+0.1n，(n∈N*)-----------（5分）
（2）設該種汽車使用n年后總費用為y，依題意；y=

10+0.9n+0.1n2+0.1n

n

=

10

n

+

n

10

+1≥2+1=3（萬元）---------------------（10分）
當且僅當

10

n

=

n

10

即n=10時，等號成立，故這種汽車使用10年報廢最合算．-----（12分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．