Question

在公差不為零的無窮等差數(shù)列{a_n}中，a₂、a₈、a₃₈成等比數(shù)列
（Ⅰ）求

a3+a5

a4+a6

的值；
（Ⅱ）依次從該數(shù)列中取出一系列項構成一個等比數(shù)列，記作{a_n}，已知它的第一項為a n1=a₂，第二項為a n2=a₅，求此等比數(shù)列的公比q及和s_k=n₁+n₂+…+n_k．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質,等差數(shù)列的性質

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₂、a₈、a₃₈成等比數(shù)列，求出d=2a₁，即可求

a3+a5

a4+a6

的值；
（Ⅱ）利用ank是等差數(shù)列的第n_k項，是等比數(shù)列的第k項，求得n_k=

1

2

（1+3^k），即可求出s_k=n₁+n₂+…+n_k．

解答： 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則
∵a₂、a₈、a₃₈成等比數(shù)列，
∴（a₁+7d）²=（a₁+d）（a₁+37d）得d=2a₁，
∴

a3+a5

a4+a6

=

7

9

-------------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=（2n-1）a₁，公比為3--------（7分）
∵ank是等差數(shù)列的第n_k項，∴ank=a₁+（n_k-1）•2a₁，
ank是等比數(shù)列的第k項，∴ank=3a₁•3^k-1
∴由a₁+（n_k-1）•2a₁=3a₁•3^k-1得n_k=

1

2

（1+3^k）
∴s_k=n₁+n₂+…+n_k=

3k+1+2k-3

4

-------------------------------------（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列的求和，屬于中檔題．