Question

已知點Q為直線x=-4上的動點，過點Q作直線l垂直于y軸，動點P在l上，且滿足OP⊥OQ（O為坐標原點），記動點P的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設A，B為曲線C上兩點，且直線AB與x軸不垂直，若線段AB中點的橫坐標為2，求證：線段AB的垂直平分線過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設Q（-4，y），P（x，y），由OP⊥OQ（O為坐標原點），知

OP

•

OQ

=（x，y）（-4，y）=-4x+y²=0，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0，由已知條件推導出AB的垂直平分線方程為：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2），由此能證明線段AB的垂直平分線恰過定點．

解答： （Ⅰ）解：∵點Q為直線x=-4上的動點，∴設Q（-4，y），
∵過點Q作直線l垂直于y軸，動點P在l上，∴設P（x，y），
∵OP⊥OQ（O為坐標原點），
∴

OP

•

OQ

=（x，y）（-4，y）=-4x+y²=0，
∵動點P的軌跡為C，
∴曲線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）證明：設A，B的坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不與x軸垂直，
∴設直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2bk

k2

，
∵線段AB中點的橫坐標為2，∴

4-2bk

k2

=4，
∴b=

2-2k2

k

，
∵線段AB中點的坐標為（2，2k+b）
∴AB的垂直平分線方程為：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2）
∵b=

2-2k2

k

，∴方程可化為x+4y-4=0，顯然過定點（4，0）
∴線段AB的垂直平分線恰過定點．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查線段的垂直平分線恰好過定點的證明，解題時要認真審題，注意中點坐標公式的合理運用．