Question

設數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-2S_n；數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n為數列{c_n}的前n項和，若2a²-5a＞2T_n恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件得b1=

2

3

，

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2，從而得{b_n}是以b1=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，由此能求出bn=2•

1

3n

．
（2）由等差數列數列通項公式由已知條件求出a_n=3n-1，從而得到c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，由此利用錯位相減法求出T_n=

7

2

-(

1

2•3n-2

+

3n-2

3n

)＜

7

2

．由2a²-5a＞2T_n恒成立，得2a²-5a＞2×

7

2

，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵b_n=2-2S_n，∴b₁=2-2S₁=2-2b₁，解得b1=

2

3

，
當n≥2時，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2，
∴{b_n}是以b1=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，
∴bn=2•

1

3n

．
（2）∵數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20，
∴公差d=

1

2

(a7-a5)=3，∴a_n=3n-1，
∴c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+（3n-1）•

1

3n

]，①

1

3

Tn=2[2•

1

32

+5•

1

33

+8•

1

34

+…+（3n-1）•

1

3n+1

]，②
①-②，得：

2

3

Tn=2[2•

1

3

+3•

1

32

+…+3•

1

3n

-（3n-1）•

1

3n+1

]
∴Tn=

7

2

-

1

2•3n-2

-

3n-1

3n

=

7

2

-(

1

2•3n-2

+

3n-2

3n

)＜

7

2

．
∵2a²-5a＞2T_n恒成立，
∴2a²-5a＞2×

7

2

，
解得a≥

7

2

或a≤-1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．