Question

【題目】等差數列中，，且，，成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）記為數列的前項和，是否存在正整數，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）當時，不存在滿足題意的正整數；當時，存在滿足題意的正整數，其最小值為21．

【解析】

（1）將已知條件轉化為的形式，并利用等比中項的性質列方程，解方程求得，進而求得數列的通項公式；

（2）根據（1）中求得數列的通項公式進行分類討論，求得相應的表達式，解不等式，由此求得的最小值.

（1）設數列的公差為，依題意得，4，，成等比數列，

故有，化簡得，解得或．

當時，；當時，．

從而得數列的通項公式為或．

（2）當時，，顯然，此時不存在正整數，使得成立．

當時，．令，即，

解得或（舍去），此時存在正整數，使得成立，的最小值為21．

綜上，當時，不存在滿足題意的正整數；當時，存在滿足題意的正整數，其最小值為21．