Question

【題目】已知函數

（1）若函數在上遞減，在上遞增，求實數的值.

（2）若函數在定義域上不單調，求實數的取值范圍.

（3）若方程有兩個不等實數根，求實數的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）1（2）或. （3），見解析

【解析】

（1）由題意可得是函數的極大值點，由即可得解.

（2）根據恒成立思想先求出在定義域上單調時的的取值范圍，取補集即可得解；

（3）分離常數可得，轉化為函數和的圖像有兩個交點，通過求導即得函數的圖像與性質，結合圖像即可得解.

（1）由于函數函數在上遞增，在上遞減，由單調性知，是函數的極大值點，無極小值點.所以

經驗證成立.

（2）假設函數在定義域上單調，則有或在上恒成立

故只有使在上恒成立

即在上恒成立

令由圖形（數形結合）可得：

故：函數在定義域上不單調時或.

（3）令，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

故在處取得最小值為

又當，由圖象知：

不妨設，則有，

令

在上單調遞增，故

即，