Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P為不在x軸上的動點，直線PA，PB的斜率滿足kPAkPB．

（1）求動點P的軌跡Γ的方程；

（2）若M，N是軌跡Γ上兩點，kMN＝1，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（y≠0）；（2）

【解析】

（1）設P（x，y）為軌跡Γ上任意一點，根據kPAkPB，得到，化簡即得解；

（2）設MN：y＝x+b，聯立得到韋達定理，利用弦長公式表示弦長|MN|，O到直線MN的距離，繼而表示△OMN的面積，利用導數研究單調性，求最值即可.

（1）設P（x，y）為軌跡Γ上任意一點，則根據kPAkPB．

即，

整理得動點P的軌跡Γ的方程為：（y≠0）；

（2）設MN：y＝x+b，聯立，

整理得5x2+8bx+4b2﹣4＝0，

△＝5﹣b2＞0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2b，x1x2（b2﹣1），

|MN||x1﹣x2|，

O到直線MN的距離d，

所以△OMN面積S，

設f（b）＝5b2﹣b4，

則f′（b）＝10b﹣4b3＝0，

解得b＝0或b＝±，

又因為5﹣b2＞0，

故b＝0或b＝±

且S（0）＝0，S（±），

故△OMN的面積S最大值為．