Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

（n∈N^*）．
（1）數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差中項的性質列出S_n-3S_n+1=-3，再得當n＞1時，S_n-1-3S_n=-3，兩式相減后得到數列{a_n}的遞推關系，再利用待定系數法構造新的等比數列，利用等比數列的通項公式求出a_n；
（2）把a_n代入b_n=na_n化簡后，再由分組求和法、錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：∵S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

，
∴S_n-3S_n+1=-3，
當n＞1時，S_n-1-3S_n=-3，兩式相減得，
a_n-3a_n+1=-3，即a_n=3a_n+1-3，
設a_n+k=3（a_n+1+k），則a_n=3a_n+1+2k，
∴k=-

3

2

，
∴a_n-

3

2

=3（a_n+1-

3

2

），即

an+1- 3 2

an- 3 2

=

1

3

，
又a₁=1，∴a₁-

3

2

=-

1

2

，
∴數列{a_n-

3

2

}是以-

1

2

為首項，

1

3

為公比的等比數列，
則a_n-

3

2

=-

1

2

×

1

3n-1

，
即a_n=-

1

2

×

1

3n-1

+

3

2

；
（2）令b_n=n•a_n得，則bn=-

n

2

×

1

3n-1

+

3

2

•n，
∴T_n=-

1

2

（1×

1

30

+2×

1

31

+3×

1

32

+…+n×

1

3n-1

）+

3

2

(1+2+3+…+n)
=-

1

2

（1×

1

30

+2×

1

31

+3×

1

32

+…+n×

1

3n-1

）+

3n(n+1)

4

，
設S=-

1

2

（1×

1

30

+2×

1

31

+3×

1

32

+…+n×

1

3n-1

），
∴

1

3

S=-

1

2

（1×

1

31

+2×

1

32

+3×

1

33

+…+n×

1

3n

）
兩式相減得，

2

3

S=-

1

2

（1+

1

31

+

1

32

+…+

1

3n-1

-n×

1

3n

）
=-

1

2

（

1- 1 3n

1- 1 3

-n×

1

3n

）=-

3

4

+

2n+3

4•3n

，
∴S=-

9

8

+

6n+9

8•3n

，
故T_n=-

9

8

+

6n+9

8•3n

+

3n(n+1)

4

．

點評：本題考查等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，利用待定系數法構造新的等比數列求出通項公式，錯位相減法、分組求和法求數列的和，確定數列的通項公式是關鍵，考查了運算化簡能力．