Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}滿足：a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=

8

an•an+1

，數列{b_n}的前n項和為S_n，當x∈[2，4]時，對于任意的正整數n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等差數列和等比數列的通項公式，建立方程關系即可求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求出數列{b_n}的通項公式，利用裂項法即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列的公差是d，
∵a₁，a₂，a₅成等比數列，即2，2+d，2+4d成等比數列，
∴（2+d）²=2（2+4d），即d²=4d，解得d=0或d=4，
∵公差d不為0，∴d=4．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+4（n-1）=4n-2，
即的通項公式為a_n=4n-2．
（Ⅱ）∵

bn= 8 an•an+1 = 8 (4n-2)(4n+2) = 2 (2n-1)(2n+1) = 1 2n-1 - 1 2n+1

∴S_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1，
當x∈[2，4]時，對于任意的正整數n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，
即x²+mx+m≥1，則（x+1）（x-1+m）≥0，
當x∈[2，4]時，x+1＞0，
∴不等式等價為x-1+m≥0，
即m≥1-x在x∈[2，4]時恒成立，
∵1-x∈[-3，-1]
即m≥-1．

點評：本題主要考查數列的通項公式和數列求和，要求熟練掌握裂項法求和，考查學生的運算能力．